יום הפאי
רקע היסטורי של פאי
מהות הפאי:
פאי נקרא על שם האות היוונית פי. אך בגלל ביטויה באנגלית מקובל בארצנו לקרוא לה פאי.
במתמטיקה: פאי (האות היוונית פאי) מייצגת את היחס הקבוע בין היקף המעגל לקוטרו. פאי מופיע בנוסחאות רבות במתמטיקה ובפיזיקה.
עשרים הספרות הראשונות של הפאי הן: 3.1415926535897932384
לפאי מס' תכונות מיוחדות:
1. הוא מספר אי רציונאלי, במילים אחרות מס' שלא ניתן לכתובו בשבר או כיחס בין 2 מספרים שונים הוכח בשנת 1761 על ידי יוהן היינריך למברט. גם הרמב"ם הביע את דעתו באומרו שהיחס הוא לא רציונאלי אך ללא כל סימוכין מתמטים.
2. פאי הוא מספר טרנסצנדנטי. מהוכחה זו נובע שפאי אינו ניתן להצגה תוך שימוש במספר סופי של מספרים שלמים, שברים או שורשים שלהם. כלומר, לא יתכן מעגל ששטחו שווה לזה של מרובע.
רקע היסטורי לפאי:
חישוב ערך מדויק יותר ויותר של π היווה אתגר במשך מאות שנים.
בספר מלכים א' (ז, כג) יש רמז לפאי :"ויעש את הים מוצק עשר משפתו על שפתו עגול סביב וחמש באמה קומתו וקוה שלושים באמה וסוב אותם סביב". חישוב פשוט לפי פסוק זה נותן לפאי את הערך 3, שהוא קירוב פשטני של פאי (פרשנים ניסו להסביר זאת בכך שהמקרא דרכו היא לעגל מס' ומכאן אין לחשב את הערך המדויק של פאי.
ארכימדס הציג לראשונה שיטה המאפשרת לחשב את π בכל רמת דיוק שתידרש. שיטתו מתבססת על כך שהיקף המעגל קטן מהיקפו של מצולע החוסם את המעגל וגדול מהיקפו של מצולע החסום במעגל. באמצעות חישוב ההיקף של מצולע חוסם ומצולע חסום בעלי מספר הולך וגדל של צלעות נשיג דיוק גדל והולך של היקף המעגל, ובהתאם לכך דיוק גדל והולך של פאי. ארכימדס הפעיל את שיטתו על משושה, ובהדרגה הכפיל את מספר הצלעות. מצולע בן 96 צלעות הביא את ארכימדס לתוצאה הבאה:
3 1/7 > π > 3 10/71
דיוק בן שבע ספרות הושג במאה ה-16 על-יד ההולנדי אדריאן אנטוניזון, שהציג את פאי באמצעות השבר 355/113. קל לזכור שבר זה, המורכב משלושת המספרים האי זוגיים הראשונים, שכל אחד מהם נרשם פעמיים, וקו שבר חוצה את שש הספרות באמצען.
שנת 1596 השתמש ההולנדי לודולף ואן צאולן בשיטתו של ארכימדס, וחישב את פאי בדיוק של 20 ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 35 ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו לפאי בשם מספר לודולף.
התפתחות החשבון האינפיניטסימאלי במאה ה-17 הביאה שיטות חדשות לחישובו של π, שיטות המתבססות על ייצוגו של פאי כסכום של טור אינסופי.
שנת 1789 חישב הסלובני יורי וגה את 140 הספרות הראשונות של π (רק 137 מתוכן היו נכונות).
השתכללות המחשבים ומציאת אלגוריתמים יעילים יותר לחישובו של π הביא לשיא הנוכחי (שנוצר בספטמבר 2002) - חישוב 1,241,100,000,000 ספרות, באמצעות מחשב-על מתוצרת היטאצ'י. מובן שלתוצאה זו אין כל ערך מעשי, מלבד הפגנת מהירותם של מחשבי-על ושל אלגוריתמים.
